第十三章：谱线的行为#
Image credit: Jonathan Walker.
我们在归一化光谱下面讨论。
谱线的转移方程#
主要参考第七章的东西。大气连续谱上有吸收和发射，那么谱线也有。
令$$ l_\nu
$$ \begin{align} \frac{dI_\nu}{d\tau_\nu} &= -I_\nu + \frac{j^l_\nu + j^c_\nu}{l_\nu + \kappa_\nu} \ &= -I_\nu + S_\nu \end{align} \tag{13.3} $$
只是这时候光深$$ S_\nu
因为光深还是$$ S_\nu
如此这般，这般如此，我们的主要任务还是回到了如何求新的源函数上。
谱线的源函数#
我们先定性的看谱线形成的深度。利用灰大气假设，我们有
$$ S(\tau_\nu) = \frac{3F_\nu(0)}{4\pi}(\tau_\nu+\frac{2}{3}) \tag{13.7} $$
形式和$$ (7.34)
当然这个只是定性的分析，实际定量的要这么做：
我们引入谱线的发射和吸收轮廓$$ \psi(\nu), \phi(\nu)
$$ j^l_\nu \rho = N_u A_{ul} \psi(\nu) h\nu $$
$$ l^l_\nu \rho = N_l B_{lu} \phi(\nu) h\nu - N_u B_{ul} \phi(\nu) h\nu $$
所以源函数就是
$$ S_l = \frac{j^l_\nu}{l^l_\nu} = \frac{N_u A_{ul} \psi(\nu) h\nu}{N_l B_{lu} \phi(\nu) h\nu - N_u B_{ul} \phi(\nu) h\nu} $$
把$$ (6.8) $$拿过来消掉所有的AABB：
$$ S_l = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{(N_l/N_u)(g_u/g_l)-1}\frac{\psi(\nu)}{\phi(\nu)} \tag{13.9} $$
这就是non-LTE下的源函数。
如果在LTE下并且有细致平衡原理的话，吸收发射轮廓相等并且有$$ (1.17) $$，则
$$ S_l = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{h\nu/kT}-1} = B_\nu(T) \tag{13.10} $$
就比较简单了。
[2018.9] LTE的东西当然比较好用，不过最近在华沙的一个Gaia Workshop里面Maria Bergermann把LTE批判了一番，说nLTE对于元素丰度确定来说很重要。
[2019.6] 天可怜见我现在也开始搞nLTE啦….
nLTE下的源函数#
假设我们已知发射/吸收轮廓（或者它们比较好确定？），$$ (3.19)
$$ \frac{dN_j}{dt} = \sum^M_{i=1}(N_iP_{ij} - N_jP_{ji}) = 0 \tag{13.11} $$
也是守恒嘛。那这俩概率$$ P $$怎么求呢？它们包含了辐射跃迁的概率以及碰撞跃迁的概率：
$$ P_{ij} = 4\pi A_{ij} + 4\pi B_{ij} \int_0^\infty J_\nu\phi(\nu)d\nu + C_{ij} \tag{13.12} $$
就是概率=自发的+受激的+碰撞的呗。当然$$ i \ne j
类似的对于$$ P_{ji}
所以我们可以从这里看出来想求$$ S_\nu
还有一些东西#
实际上什么时候是LTE，什么时候是nLTE呢？大致来说，恒星大气内部是LTE，外部是nLTE。这其实很好理解，因为内部密度大，基本上能把里面来的光全部吸收掉再发射，就LTE了；而大气外部密度下降，就会有光子逃逸，所以就会逐渐偏离LTE。同时光子逃逸说明外层原子发射的光子变少了，源函数减小，并且原子逐渐变为吸收源，为谱线中心的吸收作出了贡献。
这个结论同时也可以有一个有趣的推论：谱线中心是nLTE的，而线翼是LTE的。一个例子是太阳的Na D线。
LTE下的谱线轮廓计算#
No more nLTE things. 究竟什么时候LTE是好的得通过实际比较才能知道，或者问Maria去。
实际计算用的是$$ (9.13) $$：
$$ F_\nu = 2\pi \int_{-\infty}^{\infty} B_\nu(\tau_0) E_2(\tau_\nu) \frac{\kappa_\nu(\tau_0)\tau_0 d\log{\tau_0}}{\kappa_0(\tau_0)\log{e}} \tag{13.15}$$
如果你想算$$ \tau_\nu
有一个有用的推论就是：当谱线比较弱的时候，谱线的轮廓和吸收系数的轮廓是一样的。
令$$ (13.7)
$$ S_\nu(\tau_1) = F_\nu(0) \tag{13.8} $$
那么
$$ \frac{F_c - F_\nu}{F_c} \approx \frac{S_\nu(\tau_c=\tau_1) - S_\nu(\tau_\nu=\tau_1)}{S_\nu(\tau_c=\tau_1)} \tag{13.17} $$
$$ \tau_c,\tau_\nu $$指的是没有/有谱线下的光深，并且LTE下谱线以及连续谱的源函数都是黑体辐射函数。
现在的光深变为：
$$ \tau_\nu = \int_0^{\tau_0} \frac{l_\nu}{\kappa_0}dt_0 + \int_0^{\tau_0} \frac{\kappa_\nu}{\kappa_0}dt_0 = \tau_l + \tau_c $$
（不熟悉的话参见第九章$$ (9.13) $$后面的式子）
简化，假设$$ \frac{l_\nu}{\kappa_0}, \frac{\kappa_\nu}{\kappa_0}
$$ S_\nu(\tau_\nu=\tau_1) = S_\nu(\tau_l+\tau_c=\tau_1) = S_\nu(\tau_c=\tau_1-\tau_l)
$$ S_\nu(\tau_\nu=\tau_1) = S_\nu(\tau_c=\tau_1) + \frac{dS_\nu}{d\tau_c}(-\tau_l) + … $$
所以$$ (13.17) $$变为
$$ \frac{F_c - F_\nu}{F_c} \approx \frac{\tau_l}{S_\nu(\tau_c=\tau_1)} \frac{dS_\nu}{d\tau_c}|{\tau1} = \tau_l \frac{d\ln{S\nu}}{d\tau_c}|_{\tau1}$$
将$$ \tau_l = \frac{l_\nu}{\kappa_0}\tau_0 $$代入，有
$$\begin{align} \frac{F_c - F_\nu}{F_c} &\approx \frac{l_\nu}{\kappa_0}\tau_0 \frac{d\ln{S_\nu}}{d\tau_c}|{\tau1} \ &= \frac{l\nu}{\kappa_\nu}\tau_c \frac{d\ln{S_\nu}}{d\tau_c}|{\tau1}\ &= \text{constant} \frac{l\nu}{\kappa_\nu} \tag{13.19} \end{align}$$
就是这样。
谱线的贡献函数#
“王老五就是未结婚的王老五”，贡献函数就是第九章的贡献函数。不多说了，放两张图自己体会。
谱线强度的行为#
这里只讨论几个对谱线强度有比较大影响的参数：温度、$$ \log{g} $$以及金属丰度。
温度#
对于弱线来说，温度变化影响了原子的占据数以及跃迁、连续谱的吸收，从而改变了谱线强度。强线以及氢线的话，还要考虑$$ \gamma $$随温度的变化。
这里姑且只讨论弱线，则有下图：
首先由$$ (8.12) $$有：
$$ \kappa_\nu = \text{constant} T^{-5/2} P_\mathrm{e} e^{0.75/kT} $$
Case 1时，是原子谱线+中性原子：
$$ N_l = \text{constant} N_0 e^{-\chi/kT} \approx e^{-\chi/kT} $$
$$ \Rightarrow R = \frac{l_\nu}{\kappa_\nu} = \text{constant} \frac{T^{5/2}}{P_\mathrm{e}} e^{-(\chi+0.75)/kT} \tag{13.20} $$
又因为$$ (9.27) $$，有：
$$ \ln{R} = \text{constant} +2.5 \ln{T} - \frac{chi+0.75}{kT} -\Omega T $$
其他Case类似，具体公式请看书。要留意Case 1和4的表达式是完全一样的，但是因为温度范围不同趋势不同。
压力#
有三种：1. 电离平衡改变导致谱线/连续谱吸收原子数改变； 2. damping常数与与压力有关； 3. 线性斯塔克效应。
这里的讨论都基于$$ (13.19)
第一种：
$$ l_\nu \propto N_i $$
$$ \frac{N_{r+1}}{N_r} = \frac{\Phi(T)}{P_\mathrm{e}} $$
实际上是原子电离的Saha方程$$ (1.20) $$。
当跃迁是发生在$$ r
第二种主要作用于线翼处，$$ l_\nu \propto \gamma = \gamma_6 + \gamma_4 + \gamma_\mathrm{nat} $$
第三种主要影响氢线，$$ l_\nu \propto P_\mathrm{e} $$。
再往高温走，电子散射会比较重要，所以由$$ (8.17) $$有
$$ \kappa_\nu \approx \kappa_\mathrm{e} = \frac{\alpha(e)P_\mathrm{e}\sum A_j}{P_\mathrm{g}-P_\mathrm{e}} $$
此时$$ P_\mathrm{g} \approx 2P_\mathrm{e}
金属丰度#
生长曲线。
简单地来说，我们考虑这么一个图像：连续谱光源在后面，前面是一团冷的气体，厚度为$$ L $$。
$$ F_\nu = F_c e^{-\tau_\nu} \tag{13.28} $$
$$ \tau_\nu = \int_0^L l_\nu \rho dx = \int_0^L N \alpha dx = A \int_0^L (N/N_E) N_\mathrm{H} \alpha dx \tag{13.29} $$
$$ N
当$$ \tau_\nu \ll 1 $$，即谱线很弱的时候，我们有
$$ F_\nu \approx F_c(1-\tau_\nu) $$
所以这个时候线深和谱线强都都正比于$$ A $$。
对于强线来说，我们需要考虑线翼；结论是
$$ W = (\langle\gamma\rangle Afh)^{1/2} \int_0^\infty (1-e^{-1/u^2})du \tag{13.31}$$
这里的生长曲线指的是仅仅改变某个元素的丰度；而如果我们改变整个恒星的金属丰度的话，生长曲线会不一样；这是因为改变整体的丰度会改变电离平衡、连续谱吸收以及碰撞的damping。一个例子如下图：
对于实际的谱线来说，例子如下：
图三张
最后的碎碎念#
LTE和nLTE都有可能出错
图两张
它们都需要致宽；就连生长曲线都会受到致宽的影响（为什么？）