第十二章：谱线的测量#
手里有数据，心里不慌。上一章讲了谱线的轮廓，那么实际我们怎么去测这个轮廓呢？毕竟测到了才能推出下面几章的东西来，那么就要看看我们是拿什么东西来测量谱线轮廓，以及怎么还原谱线轮廓的了。
仪器#
打住。我不是做仪器的，所以这块就不详细说了。要有轮廓肯定需要高色散光谱仪（虽然不同波段的高指的分辨率不一样，大家也都在吹自己的是高色散），光谱仪有分辨率公式
$$ \Delta \lambda = - \frac{W’}{f_\mathrm{coll}} \frac{d}{n} \cos{\alpha} \tag{12.1} $$
所以要减小$$ \Delta \lambda
第二是每个光谱仪都需要有一个slit viewer，说白了就是导星镜。但是恒星的光都到狭缝里面去了，射到导星镜的光又怎么来呢？实际上是将狭缝的两边变成镜子，然后将狭缝稍微斜过来，就可以反光了。
仪器轮廓#
仪器肯定会对谱线有致宽，这个致宽就叫仪器轮廓。假设我们有一个理想谱线，宽度可以忽略不计，它通过光谱仪之后的形状我们叫做$$ I(\lambda)
$$ \begin{align} D(\lambda) &= \int_{-\infty}^{\infty} I(\lambda-\lambda_0) F(\lambda_0) d\lambda_0\ &= I(\lambda) * F(\lambda) \tag{12.2} \end{align} $$
假设一个仪器轮廓是半高全宽为0.1埃的高斯函数，那么它的傅立叶变换还是一个高斯，只是宽度变为了10埃而已。
这里有图
在$$ \sigma
$$ d(\sigma) = i(\sigma) f(\sigma) \tag{12.3}$$
这意味着仪器轮廓充当了一个低通滤波器的角色，把高$$ \sigma
这看起来没什么，毕竟这么高分辨率的信号我们也看不到（后面还有采样在）。不过需要留意的一点是仪器轮廓还会改变谱线的深度和宽度。当然这也是显然的。
这里有图
复原#
~~说完生光我们就该复圆了。~~
我们想求$$ f(\sigma)
$$ f(\sigma) = d(\sigma) / i(\sigma) \tag{12.4} $$
为了处理不对称的轮廓，我们需要让上式中的三个量都为复数，则有：
$$ \begin{align} f_\mathrm{R}(\sigma) &= \frac{d_\mathrm{R}(\sigma)i_\mathrm{R}(\sigma) + d_\mathrm{I}(\sigma)i_\mathrm{I}(\sigma)}{i_\mathrm{R}(\sigma)^2 + i_\mathrm{I}(\sigma)^2} \ f_\mathrm{I}(\sigma) &= \frac{d_\mathrm{I}(\sigma)i_\mathrm{R}(\sigma) - d_\mathrm{R}(\sigma)i_\mathrm{I}(\sigma)}{i_\mathrm{R}(\sigma)^2 + i_\mathrm{I}(\sigma)^2} \ \end{align} $$
最后做个逆傅立叶变换就好了。
噪声#
问题在于噪声和另外一个东西。令噪声为$$ n(\sigma0) $$，则有
$$ d(\sigma) = d_0(\sigma) + n(\sigma) \tag{12.6} $$
所以
$$ f(\sigma) = \frac{d_0(\sigma)}{i(\sigma)} + \frac{n(\sigma)}{i(\sigma)} $$
噪声一般是高频的，而$$ i(\sigma) $$在高频处很小，所以仪器轮廓会加大噪声。
这里有图
那怎么办？这么搞的话光谱毛刺特别多。这个时候我们就要人为加入一个低通滤波器将高频的信号滤掉，反正主要是噪声。
我们将低通滤波器叫做$$ \phi(\sigma) $$，那么加入了滤波器的“真实”信号就是
$$ f_1(\sigma) = d(\sigma) \phi(\sigma) / i(\sigma) \tag{12.7} $$
我们希望$$ f_1(\sigma)
$$ \epsilon = f_0(\sigma) - f_1(\sigma) = f_0(\sigma)[1-\phi(\sigma)] - n(\sigma)\phi(\sigma)/i(\sigma) $$
最小化。结论是
$$ \phi = \frac{1}{1+[n(\sigma)/d(\sigma)]^2} \tag{12.9} $$
噪声的傅立叶变换大小可以测量出来，令$$ B= <n(\sigma)>
$$ \phi = \frac{1}{1+(B/A)^2 10^{-2b_0^2\sigma^2}} \tag{12.9} $$
就安排得明明白白了。
当然如果仪器轮廓太大或者信噪比太低那神仙都救不了，需要其他办法比如正向建模或者干脆data-driven的办法。
仪器轮廓会平滑掉一些高频信息，所以当仪器轮廓比较大的时候，采样频率可以适当降低；反之亦然。
仪器轮廓的测量#
可以通过汞灯、激光以及大气吸收线来测量。当仪器轮廓被狭缝宽度主导的时候，它与级数无关；但是最好还是用和恒星曝光时类似的设置来测量。
散射光#
略写。主要是因为我们只考虑了仪器轮廓附近的波长范围，如果外面还有光进来的话就归为散射光。散射光主要集中在低$$ \sigma
等值宽度#
等值宽度定义为
$$ W = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{F_\mathrm{c}-F_\mathrm{\nu}}{F_\mathrm{c}} \mathrm{d}\nu \tag{12.20} $$
但是实际上我们测得的是$$ D_\mathrm{\nu} = I(\lambda) * (F_\mathrm{c}-F_\mathrm{\nu}) $$，所以
$$ W_\mathrm{m} = \int_{-\lambda_0}^{\lambda_0} \frac{I(\lambda) * (F_\mathrm{c}-F_\mathrm{\nu})}{D_\mathrm{c}} \mathrm{d}\nu \tag{12.20} $$
这导致了我们有的时候不能覆盖整条谱线的范围，因为有别的线在；同时一般来说我们会低估$$ D_\mathrm{c}
谱线测量方法#
在波长域我们可以测量谱线的半高全宽，以此表征比如自转之类的一些物理量。谱线的位置不对称性可以从谱线的中线看出来。
在$$ \sigma