第十一章：谱线吸收系数#
看了这么久从这一章开始才是正餐。
谱线的强度和形状都是我们很关心的东西，因为它们可以同时受多个物理量影响；相反连续谱的形状基本上只是有效温度的函数。谱线吸收系数就决定了这条谱线位于什么波长、将会有什么形状。
这一章我们基本上讨论三种谱线致宽的机制：自然致宽、压强致宽以及热运动致宽。虽然字面上看起来这三个机制只会告诉我们谱线宽了多少，但是实际上我们会推导出谱线吸收系数，也就把能定的都定下来了。从结论上来说前两个致宽是一个洛仑兹轮廓，最后一个是高斯轮廓；然后把它们卷积起来就得到最终的轮廓了。
自然致宽#
吸收嘛，肯定得有入射光$$ E $$和吸收光的原子。光作为电磁波有波动方程以及光速的关系：
$$ \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} $$
$$ v = c\left(\frac{\epsilon_0 \mu_0}{\epsilon \mu}\right)^{1/2} $$
而且光可以叠加，为了简单起见只考虑其中的一个成分：
$$ E = E_0 e^{-2\pi i (x/\lambda-t/P)} = E_0 e^{-2\pi i (x-vt)/\lambda} = E_0 e^{-i\omega (x/v-t)} \tag{11.1}$$
我们忽略磁场，就有$$ \mu = \mu_0 $$。但是因为吸收光的原子是一个个电偶极子，所以介电常数发生了变化：
$$ \frac{\epsilon}{\epsilon_0} = \frac{E + 4\pi Nqz}{E} = 1 + \frac{4\pi Nqz}{E} \tag{11.2} $$
$$ N
$$ \frac{d^2 z}{dt^2} + \gamma \frac{dz}{dt} + \omega_0^2 z = \frac{e}{m} E_0 e^{i\omega t} \tag{11.3}$$
$$ x = 0
$$ -\omega^2 z + \gamma i\omega z + \omega_0^2 z = \frac{e}{m} E_0 e^{i\omega t} $$
或者
$$ z = \frac{e}{m} \frac{E_0 e^{i\omega t}}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\gamma\omega} = \frac{e}{m} \frac{E}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\gamma\omega} $$
可以看到$$ \omega = \omega_0
$$ \frac{\epsilon}{\epsilon_0} = 1 + \frac{4\pi Ne^2}{m}\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\gamma\omega} \tag{11.4 }$$
$$ \epsilon
$$ \begin{align} \frac{c}{v} = \left(\frac{\epsilon}{\epsilon_0}\right)^{1/2} &\approx 1 + \frac{1}{2} \frac{4\pi Ne^2}{m}\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\gamma\omega} \ &= 1 + \frac{2\pi Ne^2}{m}\left[\frac{\omega_0^2-\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2} - i\frac{\gamma\omega}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}\right] \end{align}$$
我们希望将这个量代回$$ (11.1) $$中间那里，然后求光强；而光强是场强实部的平方，所以可以只考虑上式中的虚部，有：
$$ I = I_0 e^{-2k\omega x/c} = I_0 e^{-l_\nu \rho x} $$
$$ l_\nu \rho = \frac{4\pi Ne^2}{mc} \frac{\gamma\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2} \tag{11.5}$$
考虑到谱线轮廓很小，$$ \omega \approx \omega_0 $$，有
$$ \omega_0^2 - \omega^2 = (\omega_0-\omega)(\omega_0+\omega) \approx 2\omega \Delta\omega $$
所以$$ (11.5) $$就变成了
$$ l_\nu \rho = \frac{2\pi Ne^2}{mc} \frac{\gamma}{\Delta\omega^2 + (\gamma/2)^2} \tag{11.6}$$
这是某个圆频率下单位体积内的总吸收，而如果我们想计算单个原子的吸收的话，有$$ l_\nu \rho = N \alpha $$，
$$ \begin{align} \alpha &= \frac{2\pi e^2}{mc} \frac{\gamma}{\Delta\omega^2 + (\gamma/2)^2} \ &= \frac{e^2}{mc} \frac{\gamma/4\pi}{\Delta\nu^2 + (\gamma/4\pi)^2} \ &= \frac{e^2}{mc} \frac{\lambda^2}{c} \frac{\gamma\lambda^2/4\pi}{\Delta\lambda^2 + (\gamma\lambda^2/4\pi c)^2} \tag{11.7} \end{align} $$
分别在圆频率、频率和波长下。这就是主要的结果了，也是一个洛仑兹轮廓。不知道的话请看第二章。这个轮廓的宽度由阻尼系数$$ \gamma $$决定。
洛仑兹轮廓的积分为$$ \pi $$，所以
$$ \int_0^\infty \alpha d\nu = \int_{-\infty}^\infty \alpha d\Delta\nu = \frac{\pi e^2}{mc} \tag{11.8}$$
或者
$$ \int_0^\infty \alpha d\lambda = \frac{\pi e^2}{mc} \frac{\lambda^2}{c} \tag{11.9}$$
这个量指的是一个原子每秒每平方弧度（只有一个方向）所吸收的光的比例。实际上的比例比上两式要小，这是因为在推导的过程中我们没有考虑量子力学带来的修正。假设这个修正量为$$ f
$$ \int_0^\infty \alpha d\nu = \frac{\pi e^2}{mc}f = B_{lu}h\nu $$
$$ \Rightarrow f = \frac{mc}{\pi e^2} B_{lu}h\nu = 7.484 \times 10^{-7} \frac{B_{lu}}{\lambda} \tag{11.11}$$
用$$ (6.8)
$$ f = \frac{mc^3}{2\pi e^2\nu^2} \frac{g_u}{g_l}A_{ul} = 1.884 \times 10^{-15} \lambda^2 \frac{g_u}{g_l} A_{ul} \tag{11.12}$$
如果我们只考虑受激辐射的话，可以写出类似的公式：
$$ f_\mathrm{em} = \frac{mc}{\pi e^2} B_{ul}h\nu $$
所以有
$$ g_u f_\mathrm{em} = g_l f_\mathrm{abs} $$
因此很多实际的表格会给出$$ gf
$$ f = \frac{2^5}{3^{3/2}\pi} \frac{g_\mathrm{bb}}{l^5u^3} \left( \frac{1}{l^2} - \frac{1}{u^2} \right)^{-3} $$
自然致宽的阻尼常数#
知道了自然致宽是一个洛仑兹轮廓之后，只要知道阻尼常数$$ \gamma $$就可以确定轮廓了。Menzal (1961)给出了阻尼常数的方程：
$$ \frac{dW}{dt} = -\frac{2}{3}\frac{e^2\omega^2}{mc^3}W = -\gamma W $$
所以可以得出
$$ \gamma = \frac{2e^2\omega^2}{3mc^3} = \frac{0.22}{\lambda^2} $$
当然后面的等号需要$$ \lambda
同样也需要引入量子力学的修正。一个现象学的方法就是将能级的能量$$ W
$$ \gamma_u = 4\pi \sum_{l<u} A_{ul} $$
这个爱因斯坦系数可以和海森堡不确定原理联系起来。不确定原理告诉我们$$ \Delta W_u \Delta t \gtrsim h/2\pi
那么跃迁总不是一个能级的事情，所以谱线的自然致宽阻尼常数是两个能级的轮廓卷积。从第二章我们知道$$ \gamma = \gamma_u + \gamma_l $$。如果辐射场很强的话，我们还要考虑受激辐射和吸收的问题：
$$ \gamma_u = 4\pi \sum A_{ul} + 4\pi \sum I_\nu B_{ul} + 4\pi \sum I_\nu B_{uk} $$
这样会更全面一点。
压力致宽#
压力致宽其实挺好理解，原子被别人撞了（在别的粒子附近），能级就变了，会带来谱线移动、不对称性和致宽。因为是在别的粒子附近，所以实际上是粒子的电场使得原子的能级发生变化，一般指的是斯塔克效应(Stark effect)；其实斯塔克效应就是电场下的赛曼效应。同时粒子离原子越近($$ R
$$ \Delta W = c/R^n \tag{11.16} $$
至于$$ n $$是多少，就取决于粒子的种类了；一般的作用如下：
$$ n $$ |
种类 |
影响的谱线 |
粒子 |
|---|---|---|---|
2 |
线性斯塔克效应 |
氢线 |
光子、电子 |
3 |
共振致宽 |
同种原子 |
|
4 |
二次斯塔克效应 |
高温恒星中的多数谱线 |
离子、电子 |
6 |
范德瓦尔斯效应 |
低温恒星中的多数谱线 |
中性氢 |
把上面的能级能量变化转为谱线频率的变化，可以得出
$$ \Delta \nu = C_n / R^n \tag{11.17}$$
$$ C_n $$需要被测出来。
简化！(The impact approximation)#
貌似到这里我们还没能给出谱线轮廓，怎么办？当然是简化了。假设碰撞是绝热的，也就是碰撞不会导致跃迁；同时因为恒星大气比较稀薄，我们认为碰撞的时间远远短于两次碰撞的时间(impact apprximation)。
我们把一个光子看成一个长为$$ W = \Delta t
回到宏观的视角，每一次碰撞的$$ \Delta t_j
$$ dP(\Delta t_j) = e^{-\Delta t_j/\Delta t_0} d\Delta t_j/\Delta t_0 $$
其中$$ \Delta t_0 $$是典型的碰撞间隔时间。所以原子吸收系数就是：
$$ \alpha = \int_0^\infty \Delta t^2 \left( \frac{\sin{\pi \Delta t (\nu-\nu_0)}}{\pi \Delta t (\nu-\nu_0)} \right)^2 e^{-\Delta t_j/\Delta t_0} d\Delta t_j/\Delta t_0 $$
积分的结果（理所当然地）是一个洛仑兹轮廓：
$$ \alpha = \frac{\mathrm{constant}}{4\pi^2(\nu-\nu_0)^2 + (1/\Delta t_0)^2} = \mathrm{constant} \frac{\gamma_n/4\pi}{(\nu-\nu_0)^2 + (\gamma_n/4\pi)^2} \tag{11.19}$$
压力致宽的阻尼系数#
从上面可以看出来$$ \gamma_n = 2/\Delta t_0
考虑谱线频率的累积变化：
$$ \phi = 2\pi \int_0^\infty \Delta \nu dt = 2\pi \int_0^\infty C_n R^{-n} dt \tag{11.20}$$
先只考虑一个粒子，做直线运动，有
$$ \phi = 2\pi \int_0^\infty C_n \frac{cos^n{\theta}}{\rho^n} dt $$
原子受影响的示意图
换元什么的，$$ v = dy/dt = (\rho/\cos{\theta})d\theta/dt, dt = (\rho/v)d\theta/\cos^2{\theta} $$，有
$$ \phi = \frac{2\pi C_n}{v\rho^{n-1}} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{n-2}{\theta} d\theta \tag{11.21}$$
这个积分在某些$$ n $$的值如下：
n |
$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{n-2}{\theta} d\theta $$ |
|---|---|
2 |
$$ \pi $$ |
3 |
$$ 2 $$ |
4 |
$$ \pi/2 $$ |
5 |
$$ 4/3 $$ |
6 |
$$ 3\pi/8 $$ |
我们很随意地确定一个阈值，$$ \phi = 1 \mathrm{rad} $$，得到一个临界半径：
$$ \rho_0 = \left[ \frac{2\pi C_n}{v} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{n-2}{\theta} d\theta \right]^{1/(n-1)} \tag{11.22}$$
然后我们只考虑那些相位差超过1个弧度，也就是距离小于临界半径的那些碰撞。在$$ \Delta t_1
$$ \gamma_n = \frac{2}{\Delta t_0} = 2\pi \rho_0^2 v N \tag{11.23} $$
上式就剩一个平均相对速率$$ v $$不知道。其实就是Maxwell-Boltzmann分布的结论：
$$ v = \left[ \frac{8kT}{\pi} \left( \frac{1}{m_A} + \frac{1}{m_p} \right) \right]^{1/2} \tag{11.24}$$
其实$$ \gamma_n $$更准确的形式可以表示为
$$ \gamma_n = N \int_{-\infty}^\infty vf(v)\sigma_n(v)dv \tag{11.25}$$
两个例子#
请自行推导，对于二次斯塔克效应以及范德瓦尔斯效应，有：
$$ \log{\gamma_4} \approx 19 + \frac{2}{3} \log{C_4} + \log{P_\mathrm{e}} - \frac{5}{6} \log{T} \tag{11.27} $$
$$ \log{\gamma_6} \approx 20 + 0.4 \log{C_6} + \log{P_\mathrm{e}} - 0.7 \log{T} \tag{11.29} $$
画出来就像下面这样：
Na I D2线的damping constent
上面这两条式子在谱线计算里面经常会被用到。当然实际和理论还是有点区别，所以会加一个系数，随时修正。
氢线的致宽#
见过谱线的同学们应该都知道，氢线的致宽和其他线的致宽根本不在一个量级上。这是因为氢线致宽的因素主要是线性斯塔克效应。那么应该怎么去计算氢线的致宽呢？
与压力致宽的想法类似，我们从下式开始：
$$ \Delta \lambda_j = c_j E \tag{11.31}$$
最早我们只考虑了一次电离离子的影响($$ E = e/R^2
$$ P(R)dR = P_N(R)4\pi R^2 N dR \tag{11.32}$$
那么再次通过简单的推理得到在半径为$$ R $$的球内找不到最近的离子的概率为
$$ P_n(R) = P_n(0)e^{-4\pi R^3N/3} $$
考虑到$$ R = 0, P_n = 1
$$ P_n(R) = e^{-(R/R_0)^3} $$
所以$$ (11.32) $$变为
$$ P(R)dR = 3 \frac{R^2}{R_0^3} e^{-(R/R_0)^3} dR $$
或者换元成场强$$ \beta = E/E_0 $$的话，
$$ P(\beta)d\beta = \frac{3}{2} \beta^{-5/2} e^{-\beta^{-3/2}} d\beta \tag{11.34}$$
就差不多了。当然更准确$$ P(\beta)
现在轮廓已经有了，然后就是加上量子力学修正（暂时略，还没有很好的理解）。最后画出来就像图11.9一样。当然还有一些没有考虑：电子带来的致宽，在线翼处会很明显；还有其他氢原子带来的致宽，在中低温恒星中比较明显。
热运动致宽#
这个就简单了，高中生都知道的东西。多普勒致宽是因为有视向速度$$ v_R $$：
$$ \frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{\Delta\nu}{\nu} = \frac{v_R}{c} \tag{11.38} $$
由$$ (11.1) $$有
$$ \frac{\mathrm{d}N(v_R)}{N} = \frac{1}{\pi^{1/2}v_0} e^{-(\frac{v_R}{v_0})^2} \mathrm{d}v_R $$
$$ v_0^2 = 2kT/m $$，那么就有
$$ \Delta \lambda_\mathrm{D} = \frac{v_0}{c}\lambda_0 = \frac{v_0}{c} \left( \frac{2kT}{m} \right) \tag{11.39} $$
$$ \Delta \mu_\mathrm{D} = \frac{v_0}{c}\mu_0 = \frac{v_0}{c} \left( \frac{2kT}{m} \right) \tag{11.40} $$
$$ \frac{\mathrm{d}N(\Delta\lambda)}{N} = \frac{1}{\pi^{1/2}\lambda_\mathrm{D}} e^{-(\frac{\Delta\lambda}{\lambda_\mathrm{D}})^2} \mathrm{d}\Delta\lambda \tag{11.41}$$
转成能量就有
$$ \alpha d\lambda = \frac{\pi^{1/2}e^2}{mc} f \frac{\lambda_0^2}{c} \frac{1}{\Delta\lambda_\mathrm{D}} e^{-(\frac{\Delta\lambda}{\lambda_\mathrm{D}})^2} d\lambda \tag{11.42} $$
$$ \alpha d\nu = \frac{\pi^{1/2}e^2}{mc} f \frac{1}{\Delta\nu_\mathrm{D}} e^{-(\frac{\Delta\mu}{\nu_\mathrm{D}})^2} d\nu \tag{11.43} $$
显然是个高斯轮廓。
Microturbulence#
这东西我一直不知道怎么翻译比较好。这个东西指的是小尺度上的质量运动（谁的？），可以用宽度为$$ \xi $$的高斯分布描述。具体会在第17章讨论。
将轮廓合起来#
这也好说，卷卷卷卷卷积起来就好了：
$$ \alpha(\mathrm{total}) = \alpha(\mathrm{natural}) * \alpha(\mathrm{Stark}) * \alpha(\mathrm{v.d. Waals}) * \alpha(\mathrm{thermal}) * \alpha(\mathrm{micro}) \tag{11.44} $$
前三个是一个宽为$$ \gamma = \gamma_\mathrm{natural} + \gamma_4 + \gamma_6 $$的洛仑兹轮廓，后面两个的宽度是
$$ \Delta \lambda_\mathrm{D} = \frac{\lambda_0}{c} \left( \frac{2kT}{m} + \xi^2 \right) \tag{11.45}$$
$$ \Delta \nu_\mathrm{D} = \frac{\nu_0}{c} \left( \frac{2kT}{m} + \xi^2 \right) \tag{11.45}$$
最终
$$ \begin{align} \alpha &= \frac{\pi e^2}{mc} f \frac{\gamma/4\pi^2}{\Delta\nu^2 + (\gamma/4\pi)^2} * \frac{1}{\pi^{1/2} \Delta\nu_\mathrm{D}} e^{-(\frac{\Delta\nu}{\nu_\mathrm{D}})^2} \ &= \frac{\pi^{1/2}e^2}{mc} \frac{f}{\Delta\nu_\mathrm{D}}H(u,a) \ &= \frac{\pi^{1/2}e^2}{mc} \frac{\lambda_0^2 f}{\Delta\lambda_\mathrm{D}}H(u,a) \tag{11.46} \end{align} $$
其中$$ H(u,a)
$$ \begin{align} a &= \frac{\gamma}{4\pi} \frac{1}{\Delta\nu_\mathrm{D}} \ &= \frac{\gamma}{4\pi} \frac{\lambda_0^2}{c} \frac{1}{\Delta\lambda_\mathrm{D}} \tag{11.47} \end{align} $$
当$$ a = 0
氢线的话，也是$$ (11.35) $$乘上Hjerting函数。
差不多就是这样#
有些再多的就用到再来总结。